Антон Болдырев продолжает творческое наследие потомственных музыкантов-пианистов (его дедушка Н.Б.Болдырев в начале 1930-х годов окончил Ленинградскую консерваторию и аспирантуру у великих русских музыкантов М.В.Юдиной и С.И.Савшинского). Обучаться игре на фортепиано начал с семи лет в городской Детской музыкальной школе. В период с 1985 по 1989 год продолжил обучение в Музыкальном училище имени Н.А.Римского-Корсакова (класс Л.Н.Синцева), а в 1995 году окончил с отличием Санкт-Петербургскую консерваторию имени Н.А.Римского-Корсакова (класс Р.М.Лебедева и И.В.Розанова). В период с 1995 по 1997 год обучался в аспирантуре под творческим руководством Р.М.Лебедева. В марте 1995 года Антон Болдырев был удостоен звания лауреата Международного конкурса пианистов «И.С.Бах» в Саарбрюккене (Германия), после чего ежегодно выступает с сольными концертами в разных городах Германии. В 1995 году дал первый сольный концерт в зале Капеллы Санкт-Петербурга. В 2000 году дебютировал с сольным концертом в Малом зале филармонии. Репертуар пианиста включает значительные произведения Баха, Бетховена, Шуберта, Шопена, Рахманинова, Скрябина, Прокофьева, Шостаковича, Хиндемита. С 1998 года Антон Болдырев преподаёт в Санкт-Петербургской консерватории.