Алексей Коптев родился в Санкт-Петербурге. Учился в Средней специальной музыкальной школе-лицее при Санкт-Петербургской консерватории (класс В. Стопичева) и в Санкт-Петербургской государственной консерватории имени Н.А. Римского-Корсакова (класс А. Догадина). Продолжил обучение в Музыкальном университете штата Индиана и в Школе искусств Северной Каролины (США).

С 1992 по 1996 год работал в симфоническом оркестре оперной труппы Мариинского театра. Был концертмейстером группы альтов в таких оркестрах, как Симфонический оркестр Индианы, Симфонический оркестр Оунсборо, Чикагский камерный оркестр. В 1999-2000 годах преподавал в Оберлинской консерватории.

С 1999 по 2005 выступал в составе «Санкт-Петербургского струнного квартета» на сценах ведущих концертных залов мира. Среди них – Концертный зал имени П.И. Чайковского, Вигмор-холл, Концертгебау и другие.

С 2005 года работает в группе альтов Заслуженного коллектива России. Как солист и участник камерных ансамблей неоднократно принимал участие в концертах на сцене Малого зала Санкт-Петербургской академической филармонии, Академической Капеллы.