Семен Климашевский родился в семье музыкантов. Окончил Санкт-Петербургскую консерваторию и аспирантуру при ней (класс М.Х. Гантварга). С 2000 по 2008 год являлся стипендиатом Филармонического общества Санкт-Петербурга и Международной программы «Новые имена». Посещал мастер-классы А. Фишера, З. Брона, Г. Жислина, П. Верникова, Х. Цейтмайера, М. Яшвили. Лауреат международных конкурсов.

В сентябре 2014 года завоевал почетный диплом и специальный приз «За лучшее исполнение камерной сонаты» на Первом Международном конкурсе скрипачей имени Леопольда Ауэра.

Участник Международных фестивалей, в том числе "Kissinger Sommer", "Niider-Mooz-Orgelfest" (Германия) и фестиваля «Мир через культуру» (Ханты-Мансийск). В 2004 году был награжден «Звездой академика Д.С. Лихачева». В 2009 году в составе квартета «Невская классика» принимал участие в 10-м Международном фестивале «Площадь искусств» (Санкт-Петербург).

С 2013 года и по настоящее время является концертмейстером Санкт-Петербургского государственного академического симфонического оркестра.