Александр Галицкий музыкальное образование получил в Ленинградском музыкальном училище им. Мусоргского (педагоги – Борис Кац, Юрий Рубаненко), затем в Санкт-Петербургской консерватории им. Н.А. Римского-Корсакова, где закончил историко-теоретический факультет. Там же, под руководством Т.С.Бершадской прошел аспирантуру и защитил одну из первых в России диссертаций о джазе.

Александр Галицкий с 1993 года является лектором Детской филармонии, с 2001 года – ведущим абонементов Малого зала филармонии им. Глинки, с 2010 – ведущим абонементов «Войди в мир музыки» Камерного зала Академической капеллы им. Глинки. С 2000 по 2005 годы был лектором и деканом Университета «Классика», созданного на базе Лектория Общества «Знание» по инициативе академика Лихачева.

Помимо этого Александр Галицкий является одним из создателей джазовой вокальной группы «Гармония», с которой выступает как концертмейстер, вокалист и аранжировщик.