Родился в Тамбовской области. В 2003 году окончил Тамбовский государственный университет им.Г.Р.Державина на кафедре хорового дирижирования (класс В.Козлякова), продолжил обучение на вокальном факультете Московской академии хорового искусства им.В.С.Попова (класс В.П.Александровой). В 2009 окончил аспирантуру Московской академии хорового искусства.

Лауреат таких международных конкурсов, как Международный конкурс оперных артистов Г.Вишневской (III премия, Москва, 2008), Международный конкурс теноров памяти Л.Паваротти (I премия, Санкт-Петербург, 2008), Международный конкурс вокалистов им.М.И.Глинки (III премия, Москва, 2009), а также лауреат Национальной театральной премии «Золотая Маска» в номинации «Опера. Мужская роль» (роль Ромео в спектакле «Ромео и Джульетта» Ш.Гуно, 2016), Премии города Москвы в области литературы и искусства в номинации «Музыкальное искусство» (2016) и Национальной оперной премии «Онегин» в номинации «Мастер сцены» (роль Рудольфа в спектакле «Богема» Дж. Пуччини, 2016). Обладатель приза Фонда им.И.С.Козловского и приза слушательских симпатий радио «Орфей».

С 2008 года – солист Московского театра Новая Опера им.Е.В.Колобова. Приглашенный солист Большого театра России.

Сотрудничает с ведущими театрами России (Мариинский театр, Казанский театр оперы и балета им.М.Джалиля, Новосибирский оперный театр), а также Италии, Голандии, США, Швеции, Франции, Германии, Японии и других странах мира.

В 2010 году дебютировал в Большом театре в мировой премьере оперы Ф.Феннелон «Вишневый сад» в партии Яши (концертное исполнение). В 2011 году с этой партией певец успешно дебютировал на сцене Гранд-Опера в Париже. В сезоне 2012/13 участвовал в спектаклях «Кавалер Розы» Р.Штрауса (партия итальянского певца) в Большом театре, в 2013 году – «Евгений Онегин» П.И.Чайковского (партия Ленского) в Королевском театре Турина, в 2014-2016 гг. – дебюты в опере «Ромео и Джульетта» Ш.Гуно (партия Ромео) в постановке А.Бернар, в «Богеме» Дж.Пуччини (партия Рудольфа) в постановке Г.Исаакян, в «Риголетто» Дж.Верди (партия Герцога) в оперных театрах Уэст-Пальм-Бич и Мальмё (Швеция). На сцене Большого театра России исполнял партии Эрнесто («Дон Паскуале» Г.Доницетти в постановке Т.Кулябина) и Рудольфа («Богема» Дж.Пуччини).

Алексей Татаринцев участвовал в творческих проектах, возглавляемых такими известными дирижерами, как В.Федосеев, В.Спиваков, М.Плетнев, С.Сондецкис, Д.Нельсон, Т.Курентзис. Неоднократно принимал участие в международных фестивалях в Германии, Франции, Финляндии, Бельгии, Венгрии, Швейцарии, Японии, Южной Корее, Нидерландах.

Сотрудничает с мужским хором Московского Сретенского монастыря. Во время Дней культуры России в странах Латинской Америки (2008) выступил в Рио-де-Жанейро, Сан-Пауло, Буэнос-Айресе, Асунсьоне, Гаване. В октябре 2012 года с этим коллективом Алексей выступил в США в Библиотеке конгресса США, Кеннеди-центре (Вашингтон), Карнеги-холле (Нью-Йорк),Чикагской филармонии.